ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

Εισαγωγή

Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.

Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Άλλη η έννοια του χάους στην θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας (χάος=διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια του χάους στην επιστήμη.

Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικώτερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ' ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος.

Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθήσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως  πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.

Ετσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία

Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή, είναι πολλά. Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που σκάζουν πάνω σε μια ακτή.

Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς.

Αλλά τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του  νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους συνυπάρχει το χάος.

Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας.

Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο. Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενεα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε computer. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει.

Ετσι οι φυσιολόγοι βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες.

Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα, --παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού συστήματος. Ετσι γρήγορα οι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν.

Μπορεί όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά, τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες τροχιές.

Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενος ελκυστής (strange attractοr).

'Ενα άλλο παράδειγμα είναι το παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις τής μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς από τους νόμους τής κύλισης υπό την επίδραση τής βαρύτητας και τής ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο.

Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα (μην ξεχνάμε βρισκόμαστε στον 21ο αιώνα) η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν computer για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.

Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους.

  Συγκεκριμμένα ο Poincare διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Αρα, δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ηλιου και άλλων οκτώ πλανητών.

 Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα και μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι' αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα".

Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια απο τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης.  Το 1954 πρώτος την κατανόησε ο σοβιετικός επιστήμονας A.Kolmogorov και ακολούθησαν και άλλοι. 

Ο πρώτος όμως που διέκρινε πως η επανάληψη (iteration) γεννά το χάος, ανήκει στον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz που εργαζόταν στο MIT. Στα μέσα του χειμώνα 1961,  εργαζόταν στον υπολογιστή του ΜΙΤ για να λύσει μερικές μη γραμμικές εξισώσεις που περιέγραφαν το μοντέλο της γήινης ατμόσφαιρας. Κάποια ημέρα για να ελέγξει μια πρόγνωση που είχε πάρει από τον υπολογιστή, ξαναέδωσε τα δεδομένα του για τη θερμοκρασία, την ατμοσφαιρική   πίεση και τη διεύθυνση του ανέμου αλλά αυτή τη φορά με στογγυλοποιημένους αριθμούς. Και περίμενε να του βγάλει ο υπολογιστής την ίδια πρόγνωση. Το αποτέλεσμα όμως τον σόκαρε. Τα νέα αποτελέσματα ήταν τελείως διαφορετικά. Αμέσως κατάλαβε πως η μεγένθυση των διαφορών οφείλεται στο συνδυασμό μη γραμμικότητας και επανάληψης. Για την ιστορία, αναφέρουμε πως αντί να βάλει τον αριθμό 0.506127 με έξι δεκαδικά ψηφία, έβαλε 0.506. Με μία έννοια ήτα απόλυτα λογική σκέψη.

Στον ίδιο, τον Lorenz οφείλεται και η θεωρία για την πεταλούδα που πετάει στο Χονγκ-Κονγκ και μπορεί να δημιουργήσει καταιγίδα στη Νέα Υόρκη. Ξαφνικά οι επιστήμονες συνειδητοποίησαν πως σε αιτιοκρατικά δυναμικά συστήματα, η δυνατότητα γέννησης χάους (μη προβλεψιμότητας) παραμονεύει σε κάθε λεπτομέρεια.

Η ονομασία όμως Θεωρία του Χάους οφείλεται στον μαθηματικό του Πανεπιστημίου του Maryland Jim York μόλις το 1975. Μια θεωρία που συνεχώς εξελίσσεται κυριεύοντας όλους τους τομείς της επιστημονικής έρευνας: από την διαστημική έως τη δυναμική των υγρών, τις ακτίνες laser έως τις χημικές αντιδράσεις, από τις τηλεπικοινωνίες (λευκός θόρυβος της γραμμής) έως την καρδιολογία, από την οικονομία έως την νευροφυσιολογία. Αλλά ενδιαφέρει τελευταία και τους μουσικούς, τους συγγραφείς, τους ψυχαναλυτές και άλλους πολλούς.

Μελέτη του Χάους

Η μελέτη του χάους προϋποθέτει τη χρήση της 'γλώσσας' των μαθηματικών.

Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς που είναι το κλασικό παράδειγμα στο μάθημα της φυσικής. Μετά από μια ώθηση, κινείται μπρος-πίσω μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος - σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, αυτό θα έλκεται από αυτό το σημείο. Δεν διαθέτουν όλα τα συστήματα ένα τέτοιο σημείο, Μερικά έχουν τόσο πολύπλοκη δόμηση και συμπεριφορά, ώστε να καταλήγουμε να μιλάμε για "χώρους" έλξης.

Εδώ πρέπει να ξαναμιλήσουμε για διαστάσεις. Οι διάφορες παράμετροι της συμπεριφοράς του εκκρεμούς μπορούν να οριστούν σαν άλλες διαστάσεις. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις, οι τρεις του χώρου (x,y,z) και ο χρόνος. Αν το ίδιο το εκκρεμές είναι μια ανεστραμμένη αλατιέρα, τότε το βάρος του θα αλλάζει καθώς θα χύνεται το αλάτι. Το βάρος γίνεται η πέμπτη διάσταση.

Τώρα πρέπει να κάνετε μια κίνηση εμπιστοσύνης προς τα μαθηματικά. Να θεωρήσετε τον πενταδιάστατο αυτό χώρο σαν σύστημα αναφοράς, οπότε η συμπεριφορά ενός συστήματος θα περιγράφεται σαν μια τροχιά που διαγράφεται σε αυτόν τον ιδεατό χώρο.

Ενα από τα βασικά χαρακτηριστικά του χάους είναι τα παράξενα .'σημεία έλξης" που διαθέτει. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα, Αυτό δεν είναι εύκολο - σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους.

Ελκυστές

Στην κλασική μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορει να περιγραφει γεωμετρικα ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές θεωρούνται ότι είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει. Ο ελκυστής του αριθμού των ψαριών μιας μολυσμένης θάλασσας μπορεί να είναι το μηδέν, η έλλειψη της ζωής. Στα μαθηματικά της κλασικής μηχανικής ήταν γνωστοί τρεις τύποι ελκυστών: μεμονωμένα σημεία (που χαρακτηρίζουν σταθερές καταστάσεις) , κλειστοί βρόχοι (περιοδικές κινήσεις σε «κύκλους») και δακτύλιοι ( συνδυασμοί διαφόρων «κύκλων» ).

Ο Ελκυστής του Lorenz. Αυτή η εικόνα έγινε το σύμβολο του Χάους στα πρώτα χρόνια. Αποκαλύπτει τη μικροσκοπική δομή που ήταν κρυμμένη μέσα σε μια άτακτη ροή δεδομένων. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς μεταβλητές. Κάθε στιγμή, οι τρείς μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου θα παριστάνει τις συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές. Επειδή το σύστημα δεν επαναλαμβάνεται από μόνο του, η τροχιά δεν τέμνει τον εαυτό της ποτέ, αλλά δημιουργεί βρόχους επ'αόριστον. Η απεικόνιση αυτή εμφανίζει ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Η μορφή αυτή μοιάζει σαν δύο φτερά μιας πεταλούδας ή σαν ένα είδος διπλής έλικας. Το σχήμα φανερώνει μια καθαρή αταξία, αλλά και ένα νέο είδος τάξης.

Κατά την δεκαετία τού 1960 ανακαλύφθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών προς τους οποίους η δυναμική είναι χαοτική .

Αργότερα διαπιστώθηκε ότι οι παράξενοι ελκυστές έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Αμεσο αποτέλεσμα αυτής τής διαπίστωσης ήταν η ανάπτυξη τής έννοιας του fractal (μίας τάξης πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων που όλα παρουσιάζουν την ιδιότητα τής αυτοομοιότητας), που με την σειρά του οδήγησε σε αξιοσημείωτες εξελίξεις στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Υπολογισμός του Χάους

Αλλά αν έχετε ακόμη πρόβλημα με το τι είναι το Χάος, σας λέμε πως το Χάος δεν σχετίζεται με περίπλοκα συστήματα και αφηρημένες έννοιες --μπορείτε να τα δείτε με αριθμούς. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την επαναληπτική  συνάρτηση: 2x2 - 1, με μια αρχική τιμή για το x μεταξύ του 0 και του 1.

Αν δεν είστε εξοικιωμένοι με την ιδέα των επαναληπτικών συναρτήσεων, σας λέμε πως αυτό σημαίνει πως λαμβάνεται την τιμή της συνάρτησης που πήρατε για κάποια τιμή του x και την τιμή αυτή την τοποθετείται στη θέση του x για να ξεκινήσετε εκ νέου την ίδια διαδικασία, υπολογισμός της συνάρτησης κλπ.

Μπορείτε να το κάνετε με ένα υπολογιστήρι ή με ένα πρόγραμμα στο computer ή να χρησιμοποιήσετε ακόμη και ένα spreadsheet (φύλλο λογιστικής).

Για να γίνει επιλέγει η αρχική τιμή x=0.75.  Αν κοιτάξετε το γράφημα της συνάρτησης, μπορείτε να δείτε μια μικρή ανωμαλία, αλλά όχι ασυνήθιστη. Το ενδιαφέρον όμως στην περίπτωση μας είναι πως αν διαλέξετε μια τιμή πολύ κοντά στην αρχική τιμή πχ 0.74999, και κάνετε το γράφημα, εσείς θα διαπιστώσετε πως είναι μεν αρχικά όμοιο με το πρώτο αλλά μετά γίνεται τελείως διαφορετικό. Αυτό εν ολίγοις, μας λέει πως οι αρχικές συνθήκες σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούν να αλλάξουν ριζικά προς τα που θα πάει το σύστημα μας. Θυμείτε την πεταλούδα, που το πέταγμα της φέρνει θύελλες στην άλλη άκρη της Γης. Δείτε το γράφημα μας.

Θεωρητικοί του Χάους

EDWΑRD LORENZ. Ολα άρχισαν από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Edward Lorenz, ο οποίος δημοσίευσε σε ένα ασήμαντο μετεωρολογικό περιοδικό του 1963 μια μελέτη. Αναρωτιόταν γιατί δεν μπορούμε να προβλέψουμε τον καιρό πάνω από 5 μέρες και χρησιμοποιούσε τρεις μη-γραμμικές εξισώσεις για να ερμηνεύσει τις καιρικές αλλαγές.

Αυτές τις εξισώσεις, με τη βοήθεια ενός στοιχειώδους γραφιστικού αναπαραγωγέα, τις έβαλε σε ένα πρωτόγονο κομπιούτερ της εποχής και δημιούργησε μια αναπαράσταση στην οθόνη. Η ιστορία μας λέει πως έπαθε σοκ. Η αναπαράσταση έμοιαζε μάλλον με συμμετρική καρναβαλίστικη μάσκα του ντόμινο. Πράγμα που σημαίνει ότι υπήρχε κρυμμένη δομή στο χάος. Μια απώτερη τάξη στην οποία υπάκουαν τα σύννεφα και οι άνεμοι.

Η δομή αυτή, που όπως είπαμε ονομάζεται «παράξενη έλξη» (παράξενη, γιατί είναι ανεξέλεγκτη), προέρχεται από το γεγονός ότι η συμπεριφορα αυτών των συστημάτων (του καιρού, των κυμάτων...) δεν είναι απολύτως τυχαία, αλλά παλινωδεί ανάμεσα σε πολύ συγκεκριμένα όρια. Οτι είναι δηλαδή ένα χάος ελεγχόμενο - μια παράξενη κατάσταση ανάμεσα στο προβλεπόμενο και το τυχαίο.

ΙLΥΑ PRIGOGINE. Στα ίδια συμπεράσματα οδηγήθηκε κι ένας σπουδαίος χημι κός - μαθηματικός. Ο Ιλιά Πριγκοζίν. Είπε ότι οι ζωντανοί οργανισμοί βρίσκουν εν τέλει τάξη και νόμο, ζώντας μέσα σε ένα κόσμο που τρεκλίζει - κι ότι αυτή η τάξη βγαίνει από χημικά συστήματα ανισόρροπα και πολύπλοκα - δηλαδή χαοτικά.

Είπε ακόμη ότι οι αλαζονικές κλασικές επιστήμες καταρρίπτονται (το ωρολογιακό σύμπαν του Νεύτωνα, η έννοια της αντιστρεψιμότητας, η γραμμική συμπεριφορά των συστημάτων) κι ότι ασήμαντες δυνάμεις, που οι επιστήμονες ώς τώρα θεωρούσαν αμελητεες, μπορεί να εισχωρήσουν στο εσωτερικό των συστημάτων προκαλώντας, γιγαντιαίες αλλαγές, την ώρα που γιγαντιαίες δυνάμεις μπορεί ν' αφήνουν τα συστήματα ανέπαφα.

Το ανοιγόκλειμα των φτερών μιας πεταλούδας στην Αθήνα μπορεί λοιπόν να προκαλέσει καταιγίδα στο Τόκιο - αλλά το θέμα δεν είναι αυτό. Είναι ότι με τις νέες θεωρίες, ο άνθρωπος χάνει το μονοπώλιο της δημιουργίας, την ψευδαίσθηση ότι ελέγχει τη φύση μέσω της λογικής, την ανακούφιση ότι ο Θεός δεν παίζει ζάρια με το σύμπαν.

Τώρα όλα είναι χάος - χάνονται και ξαναβρίσκονται καινούρια. Η πορεία του κόσμου δεν είναι μια προβλέψιμη κίνηση, αλλά μια τεθλασμένη γραμμή που διαρκώς λυγίζει από το τυχαίο και δεν μπορεί ποτέ να γυρίσει προς τα ασφαλή μετόπισθεν. Ποτάμι χωρίς επιστροφή.

RENE ΤΗΟΜ. Τα προηγούμενα μας φέρνουν κοντά στη (συγγενική με το χάος) θεωρία των καταστροφών του Rene Thom. Τη θεωρία που ψάχνει μια κρυφή μαθηματική αρχή πίσω από κάθε βιολογική αλλαγή. Με σκοπό, να εξηγήσει τις ξαφνικές αστάθειες σε σχετικά σταθερά συστήματα. Το γιατί π.χ. συμβαίνουν σεισμοί, ή γιατί αλλάζει το σχήμα ενός σύννεφου.

Η λεξη καταστροφή εδώ, δεν είναι κυριολεκτική. Μιλάει για εκείνη την απειροελάχιστη στιγμή όπου όλα παίζονται κι η αλλαγή συντελείται - και την οποία ο Thom αναπαριστά με σπείρες και χελιδονοουρές, σχήματα που δεν υπάρχουν στη φύση και δύσκολα καταλαβαίνονται.

Η θεωρία αυτή ξαναήλθε στην επιφάνεια στη δεκαετία του '60. Ο Thom παρατήρησε κάτι που το βρίσκουμε και στον Ηράκλειτο. Η εξέλιξη του κόσμου γίνεται μέσα από τις αλλαγές της μορφής. Μόνο που η διαδοχή αυτών των μορφών χαρακτηρίζεται από ασυνέχεια. O Rene Thom κατέταξε όλες τις μορφές των απότομων αλλαγών-ασυνεχειών σε επ΄τα κατηγορίες. Οι συνεχιστές της θεωρίας αυτής επεξέτειναν την θεωρία σε ό,τι έβλεπαν να κινείται και να παρουσιάζει ταυτόχρονα απότομες αλλαγές. Πχ γέννηση των βιολογικών μορφών (κύτταρα), μια κοινωνική αλλαγή, μια στάση κρατουμένων, μια πτώση ενός καθεστώτος, την πτώση της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας, ακόμη και ψυχολογικές αρρώστειες (πχ εφηβική ανορεξία) που εμφανίζουν καταστροφικές συμπεριφορές με απότομες ψυχολογικές κρίσεις και μεταπτώσεις πχ στην anorexia nervosa οι έφηβοι κινούνται ανάμεσα στην δίαιτα και την βουλιμία. Στην θεωρία αυτή όλα γίνονται αντικείμενο μελέτης με μαθηματικούς τύπους.

ΒΕΝΟΙΤ ΜΑΝDΕLΒRΟΤ . Αλλά εκείνος που θεωρείται ιδρυτής της θεωρίας του χάους είναι ο Γάλλος μαθηματικός της ΙΒΜ Μπενουά Μαντελμπρό. Αυτός εφεύρε πριν 25 χρόνια την κλασική Γεωμετρία (Fractal geometry), η οποία στη θέση των καθαρών και συγκεκριμένων γραμμών της ευκλείδειας, εισάγει μια νέα έννοια της διάστασης που μας επιτρέπει να μετρήσουμε την αταξία, και το ακανόνιστο ενός αντικειμένου.

Είναι μια νέα γεωμετρία, που μπορεί να αναπαραστήσει τις ατέλειωτες αντιθέσεις και στρεβλώσεις των φυσικών μορφών (της πλαγιάς ενός ηφαιστείου, του φύλλου μιας φτέρης, του πνεύμονα ενός εμβρύου...) στην οθόνη ενός κομπιούτερ.

Το ιδιοφυές της κλασματικής γεωμετρίας είναι: α) ότι τα σχήματα δημιουργούνται στον κομπιούτερ με την επανάληψη εις άπειρον μιας απλής μαθηματικής πράξης (δες π.χ. τη νιφάδα του Κοχ, στο σχήμα) και β) ότι ο βαθμός αταξίας ενός αντικειμένου παραμένει ο ίδιος σε κάθε κλίμακά του - στα μέρη και το όλου.

Η παιγνιώδης (και πιο γνωστή) εφαρμογή της κλασματικής γεωμετρίας έγινε από τον ίδιο το Mandelbrot πάνω στα κομπιούτερ της ΙΒΜ. Είναι το Mandelbrot Set - μια κλασματική εικόνα στο κομπιούτερ που όσο κι αν την μεγεθύνσεις, τόσο πιο σύνθετα και ψυχεδελικά σύμπαντα θα ανακαλύψεις. Το ίδιο άτακτα όπως η αρχική εικόνα, το ίδιο ανεξάντλητα όπως η θάλασσα.

Αντίθετα, η θεωρία του χάους δεν είναι τόσο απλή - και σίγουρα είναι κάτι παραπάνω από ένας νέος τρόπος για να κωδικοποιείς τη φύση. Στρέφει την επιστήμη σε ένα καινούριο δρόμο, πολύ πιο συμφιλιωμένο με την πραγματικότητα και (φιλοσοφικά τουλάχιστον, γιατί τα μαθηματιιcά της, ελάχιστοι τα κατα λαβαίνουν) συμφιλιώνει και τον άνθρωπο με το μέσα του χάος.

Γιατί και η καρδιά είναι ένα χαοτικό σύστημα. Χτυπάει ανεξέλεγκτα, τυφλά - κι όμως υπακούει κι αυτή σε ένα μαθηματικό νόμο.

Ποιον; Το νόμο του χάους. Τη γνώση της ελεγχόμενης αταξίας : Τη γνώση ότι το μάταιο σκόρπισμα, το διαρκές ξέφτισμα της ζωής δεν είναι εν τέλει τόσο μάταιο, ούτε και τόσο εντροπικό. Ολα λοιπόν υπακούνε σε μια κρυφή, άπιαστη τάξη.

Fractal

Σχεδόν ο καθένας μας έχει θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια, περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι  σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης.

Πολλοί άνθρωποι τα βλέπουν δίχως να γνωρίζουν τι είναι αυτές οι φανταστικές έγχρωμες εικόνες και πως δημιουργούνται. Μερικοί έχουν ακούσει πως υπάρχει κάποια σύνδεση τους με ορισμένα φυσικά αντικείμενα δίχως να πολυκαταλαβαίνουν ποιά σύνδεση εννοείται. 

Οι περισσότεροι από μας όταν ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες:

1. Οι εικόνες αυτές είναι όμοιες προς ευατόν. Ετσι αν κοιτάξουμε ένα μικρό τμήμα ενός fractal θα δούμε πως είναι όμοιο με ένα μεγαλύτερο τμήμα. Αν μεγενθύνουμε το μικρό, θα δούμε πως αυτό περιέχει και πάλι όμοια μέρη κ.ο.κ.

2. Οι fractal εικόνες είναι ανεξάρτητες από κλίμακα. Αντίθετα με τα ευκλείδια σχήματα, δεν έχουν ένα χαρακτηριστικό μέγεθος μέτρησης. 

Τα Fractal είναι μία τάξη πολύπλοκων γεωμετρικών μορφών που έχουντην ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Τα Fractal διαφέρουν από τα απλά σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας - το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ.

Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή ή χωρικά ανομοιόμοια φαινόμενα στην φύση, τα οποία δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν με την ευκλείδεια γεωμετρία.

Ο όρος fractal πλάσθηκε από τον πολωνικής καταγωγής μαθηματικό Benoit Β. Mandelbrot από την λατινική λέξη fractus (θρυμματισμένος ή σπασμένος), για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος τού οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό. Στα Ελληνικά αποδόθηκε με τον όρο Μορφοκλασματική Καμπύλη από τον αδικοχαμένο Στ.Πνευματικό και τον καθηγητή Ι.Νίκολη.

"Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals.

Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν.

Αυτοόμοιο είναι ένα αντικείμενο του οποίου τα μέρη από τα οποία αποτελείται μοιάζουν με το σύνολο. Αυτή η επανάληψη τών ακανόνιστων λεπτομερειών ή σχηματισμών συμβαίνει προοδευτικά σε μικρότερες κλίμακες και, στην περίπτωση καθαρά αφηρημένων οντοτήτων, είναι δυνατόν να συνεχίσουν απεριόριστα έτσι ώστε κάθε τμήμα ενός τμήματος, όταν μεγεθυνθεί, να μοιάζει βασικά με το συνολικό αντικείμενο. Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό τών δένδρων.

Το ανωτέρω σχήμα δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Κωχ.

'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.

Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται   με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.

Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.

Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.

Εφαρμογές fractals

Η γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά.

Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθοίιν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων.

Η γεωμετρία του Χάους είναι η γεωμετρία των fractals

Αλλά γιατί τα fractals συνδέθηκαν τόσο πολύ με τα χαοτικά συστήματα; Ξέρουμε από την ευκλείδια γεωμετρία ότι οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες δύο και οι όγκοι τρείς διαστάσεις. Αντιθέτως τα fractals δεν έχουν ακέραιες διαστάσεις, αλλά μπορεί να είναι μη ακέραια πχ ανάμεσα στο 2 και στο 3 αν είναι καμπύλη.

Οσο πιό μεγάλη είναι η διάσταση τους τόσο πιό τραχιά είναι η εμφάνιση του. Μια τυπική βραχώδης ακρογιαλιά, αν τη δούμε σαν fractal γραμμή τότε έχει  διάσταση 1.215. Ολα δε τα αντικείμενα που ένα μικρό τμήμα τους μοιάζει με ένα μεγαλύτερο θεωρείται fractal.

'Eνα τυπικό παράδειγμα fractal είναι το σύνολο τού Mandelbrot.

Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)

Τα σύνολα Julia  (Από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού Gaston Julia που τ' ανακάλυψε) δημιουργήθηκαν εισάγοντας ένα μιγαδικό αριθμό σε μια επαναληπτική συνάρτηση.  Οι εικόνες που φαίνονται αναπαριστούν πως η επαναληπτική συνάρτηση συμπεριφέρεται.

Το σύνολο Mandelbrot  είναι ένας κατάλογος όλων των δυνατών συνόλων Julia.  To σύνολο Mandelbrot είναι τα πιό φημισμένα fractal επειδή είναι εξαιρετικά σύνθετο και ήταν το πρώτο που ανακαλύφθηκε από τον ιδρυτή της fractal γεωμετρίας: τον Benoit Mandelbrot. Το σύνολο Manelbrot είναι από τα πιό σύνθετα σχήματα της Γεωμετρίας. Ο τύπος για να τα σχεδιάσουμε στον υπολογιστή είναι Ζ_n+1=Z²_n+K. Η συνταγή λοιπόν είναι η εξής: Παίρνουμε ένα αριθμό, τον πολλαπλασιάζουμε στον εαυτό του και τον προσθέτουμε στον σταθερό Κ. Εξετάζουμε αν η σειρά από τα σημεία που προκύπτουν βγαίνει έξω από ένα κύκλο με ακτίνα ίση με δύο. Αν δεν βγαίνει, τότε το πρώτο σημείο, εκεί όπου ξεκίνησε, ανήκει στο σύνολο Mandelbrot και θα παριστάνεται σαν μια μαύρη κουκίδα.  Ετσι βρίσκοντας πολλά σημεία αρχίζει να ξεκαθαρίζει το σχήμα που φτιάξαμε. Και έχει την παράξενη ιδιότητα ένα τμήμα του να μοιάζει με ολόκληρο το fractal. Φτάνει να παραστήσουμε κάποιο κομμάτι και θα καταλάβουμε πως είναι το ολόκληρο. Αλλά ποιό είναι το ολόκληρο; Αυτό που χωράει σε ένα χαρτί, σε ένα τεράστιο χαρτόν ή που χωράει σε όλη την Αθήνα;

Παράδειγμα

Το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z₀ στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z₀ στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σημείο  Z₁ δημιουργείαι από το Z₀ ως εξής:

Z₁ = Z₀² + Z₀
Z₂ = Z₁² + Z₀
Z₃ = Z₂² + Z₀
. . .

Αν η ακολουθία Z₀, Z₁, Z₂, Z₃, ... παραμένει εντός του κύκλου με ακτίνα 2 πάντα, τότε το σημείο Z₀ λέγεται πως ανήκει στο σύνολο Mandelbrot. Εαν η ακολουθία αποκλίνει από το αρχικό σημείο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο.

Δημιουργία Fractal

Εστω ότι θέλουμε να φτιάξουμε κάποιο fractal, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Y=X2. Για να φτιάξουμε το σύνολο αυτό, κάθε φορά στη θέση του X βάζουμε το Y που βρήκαμε.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με αρχική τιμή για το X=1.01 τότε θα έχουμε

1.012=1.0201. Παίρνουμε τη νέα τιμή του Y=1.0201 και την βάζουμε στο X, οπότε θα έχουμε

1.02012=1.0201. Και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:

1.08285670562808

1.1725786449237

1.374906785311

1.89046186

3.57384607

12.7723758

163.1335836

26612.5661173

708228675.3479

5.015878*1017

2.5159*1035 κ.ο.κ.

Τι θα γίνει όμως αν αντί για 1.01 βάλουμε 0.99 στη θέση του X; Θα πάρουμε τους εξής αριθμούς:

0.992=0.9801

0.98012=0.96059601 και για τις επόμενες 10 αντικαταστάσεις θα έχουμε:

0.922744

0.8514577710

0.724980

0.52559648

0.2762516676

7.631498390659*10-2

5.8239767*10-3

3.39187054019*10-5

1.150478*10-9

1.3236009*10-18

1.751919*10-36

3.06922188*10-72

9.420122*10-144

Είναι λοιπόν ξεκάθαρο προς τα που οδηγεί η μικρή αλλαγή του Χ από 1.01 σε 0.99, στο Χάος, στο απρόβλεπτο.