ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΧΑΟΥΣ

2^ο ΜΕΡΟΣ

(Συνέχεια από το προηγούμενο)

Νευρωνικά δίκτυα και χάος

Ενα ντετερμινιστικό σύστημα είναι - θεωρητικά - απόλυτα προβλέψιμο. Το μέλλον του καθορίζεται από το παρελθόν του. Στην πράξη, παρά το ότι ακολουθεί αυστηρούς και απλούς κανόνες, η συμπεριφορά του είναι τόσο πολύπλοκη που δεν επιτρέπει την πρόγνωση μακριά στο μέλλον. Είναι εντυπωσιακό, που τα νευρονικά δίκτυα μπορούν να προβλέψουν τη μελλοντική συμπεριφορά χαοτικών συστημάτων, με βάση μόνο μερικά παραδείγματα του "παρελθόντος" τους.Τα νευρονικά δίκτυα - ομάδες απλών μονάδων επεξεργασίας σε στρώματα πυκνά διασυνδεδεμένα μεταξύ τους - δεν προγραμματίζονται, διδάσκονται δια παραδειγμάτων. Αν τα παραδείγματα είναι πάνω στη συμπεριφορά που προκαλεί το παρελθόν στο μέλλον , το δίκτυο αναπτύοσει ικανότητες πρόγνωσης. Δεν έχει γίνει πλήρως αντιληπτό το πώς γίνεται αυτό, αλλά θεωρείται σαν μια μορφή αναγνώριοης επαναλαμβανομένων οταθερών "σχημάτων" (pattern recognition). Το δίκτυο βρίσκει σχήματα που τα αναγνωρίζει ότι οδηγούν σε ορισμένο μέλλον - κάτι σαν τις μαθηματικές καμπύλες που "ταιριάζουν" σε διάσπαρτα πειραματικά αποτελέσματα, αλλά σε πολυδιάστατους χώρους. Οι επιστήμονες του Κέντρου Μη-Γραμμικών Επιστημών του Los Αlamοs, χρησιμοποίησαν μικρά δείγματα χαοτικών δεδομένων για την εκπαίδευση νευρονικών δικτύων στην πρόγνωση της συμπεριφοράς των χαοτικών συστημάτων. Οι συμβατικές αριθμητικές μέθοδοι (με τις καμπύλες πρoσαρμογής που αναφέραμε) απέτυχαν, ενώ τα δίκτυα πέτυχαν καλά αποτελέσματα, που έδειχναν ότι "κατάλαβαν" τη δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων .Αλλοι επιστήμονες χρησιμοποίησαν τις μαθηματικές τεχνικές της θεωρίας του χάους  για τη μελέτη του ανθρώπινου εγκεφάλου. Βρήκαν μάλιστα ενδείξεις ύπαρξης ορισμένων τύπων χάους στα ηλεκτροεγκεφαλογραφήματα ενός επιληπτικού και υγιών ανθρώπων σε κατάσταση ύπνου. Μερικό. πειράματα σε κουνέλια δείχνουν κάποιο ρόλο του χάους στη λειτουργία της μνήμης. Το χάος και τα νευρονικά δίκτυα φαίνεται λοιπόν ότι συνδέονται με κάποια σχέση!

Χάος και Θεωρία καταστροφής

Μαθηματική θεωρία, η οποία αποδίδει τις απότομες και αναπάντεχες μεταβολές της συμπεριφοράς ενός συστήματος σε ενδογενείς παράγοντες. Κατά την θεωρία, οι εξωγενείς παράγοντες (πόλεμοι, φυσικές καταστροφές, πολιτικές αποφάσεις κ.λπ.), εφόσον συντρέξουν, μπορεί να επιτείνουν μια δημιουργηθείσα ενδογενώς ανισορροπία. Για να δημιουργηθεί ενδογενώς ανισορροπία, θα πρέπει το σχετικό σύστημα να περιγράφεται από ένα σύνολο μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων (διαφορικές εξισώσεις ή εξισώσεις διαφορών). Η αιτία είναι το γεγονός της μη γραμμικότητας, η οποία επιτρέπει την, σε σύντομο χρονικό διάστημα, μεγάλη διεύρυνση κάποιων αρχικών αποκλίσεων μεταξύ τών θεωρητικών και πραγματικών τιμών μιάς μεταβλητής. Η ανάπτυξη τής θεωρίας ξεκίνησε στα μέσα τής δεκαετίας τού 1950 όταν ο Αμερικανός μαθηματικός Benoit Mandelbrot ανέπτυξε την Κλασματική Γεωμετρία (Fractal Geometry) με την εισαγωγή τών κλασματικών διαστάσεων.

Στις αρχές τής δεκαετίας τού 1970 ο Γάλλος μαθηματικός Rene Τhοm παρουσίασε την Θεωρία τών Καταστροφών αξιοποιώντας τις προόδους στην Διαφορική Τοπολογία. Η δεκαετία τού 1970 ήταν η περίοδος κατά την οποία οι θεωρητικές πρόοδοι που έδιδαν ποιοτικά συμπεράσματα, χρησιμοποιήθηκαν και για την εξαγωγή ποσοτικών εκτιμήσεων. Σ' αυτήν την προσπάθεια πρωτοστάτησε ο Άγγλος μαθηματικός Chrίstορher Zeeman, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο τού Γουόρικ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των μη γραμμικών δυναμικών εξισώσεων, η συμπεριφορά των οποίων μελετάται, κυρίως, μέσω τού θεωρήματος τού Ροίncare και τής εξίσωσης του Lyapunov. Η Θεωρία τού Χάους και τής Καταστροφής είναι μια Θεωρία Γενικής 1σορροπίας στην οποία γενικεύεται η έννοια τής ισορροπίας. Εδώ, ισορροπία δεν είναι η τάση επιστροφής τού συστήματος σε ένα απλό σημείο, αλλά σε ένα άλλο σύνολο σημείων , σύνολο το οποίο καλείται ελκυστής (attractor). Εάν το εν λόγω σύνολο καταλαμβάνει ολόκληρη επιφάνεια χωρίς συγκεκριμένη διάταξη, τότε λέγεται παράξενος ελκυστής (strange attractor). Η ύπαρξη αυτού τού παράξενου ελκυστή προκαλεί το απρόβλεπτο τής συμπεριφοράς τού συστήματος. Σε μια τέτοια περίπτωση, μεγάλη βοήθεια στην μελέτη τής συμπεριφοράς τού συστήματος προσφέρει η Θεωρία τών Διχαλοδρομήσεων (Bifurcation Τheοry), σύμφωνα με την οποία όταν η αριθμητική τιμή μιάς παραμέτρου (καλουμένη «αργή μεταβλητή») υπερβεί ένα όριο, τότε εμφανίζονται πολλαπλές λύσεις με τάσεις συνεχούς διακλάδωσης τών λαμβανόμενων αριθμητικών αποτελεσμάτων. Εάν το σύνολο τών σημείων ισορροπίας συρρικνωθεί σε ένα μόνο σημείο, τότε έχουμε την κλασική έννοια τού σημείου ισορροπίας (point attractor). Εκτός τών ελκυστών, υπάρχουν και σύνολα σημείων τα οποία εξωθούν το σύστημα σε ανισορροπία. Τα σημεία αυτά λέγονται «απωθητές» (repellors). Η πρώτη εφαρμογή της Θεωρίας του Χάους και της Καταστροφής έγινε στην Μετεωρολογία από τον Αμερικανό μετεωρολόγο Ε. Lorenz περί τα μέσα τής δεκαετίας τού 1960. Στην επόμενη δεκαετία άρχισε να εφαρμόζεται και σε άλλες επιστήμες, όπως την ιατρική (καρδιακή αρρυθμία), την βιολογία (επιβίωση ειδών), την ψυχολογία (ανταρσίες φυλακισμένων), την μηχανική (στατική ισορροπία γέφυρας) κ.λπ. Οι πρώτες εφαρμογές τής εν λόγω θεωρίας στα οικονομικά έγιναν περί τα τέλη τής δεκαετίας τού 1970 και κατά τις αρχές τής επομένης. Διάφοροι οικονομολόγοι, όπως ο Η. Varian, ο Μ. Stυtzer, ο Α. Day κ.ά., επανεξέτασαν διάφορα θέματα οικονομικού ενδιαφέροντος υπό το πρίσμα τής νέας προσέγγισης (π.χ. θεωρία τού Μάλθους, θεωρία οικονομικής ανάπτυξης, μικροοικονομική ισορροπία, μακροοικονομική ισορροπία, συμπεριφορά κεφαλαιοαγορών - χρηματιστηρίων, εξέλιξη τής συναλλαγματικής ισοτιμίας τού εθνικού νομίσματος, εξέλιξη τών επιτοκίων κ.λπ.).Το γενικό συμπέρασμα που μέχρι στιγμής προκύπτει είναι η διαπίστωση ότι σε αρκετές περιπτώσεις τα οικονομικά φαινόμενα έχουν χαοτική συμπεριφορά (δηλαδή λόγω τής μη γραμμικότητάς τους είναι ενδογενώς ασταθή). Αυτό είναι περισσότερο εμφανές στα μικροοικονομικά μεγέθη, σε αντίθεση προς τα μακροοικονομικά, όπου η αναγκαστική ομαδοποίηση (aggregation) πολλές φορές καταστρέφει τον χαοτικό τους χαρακτήρα.

'Ενα άλλο συμπέρασμα είναι ότι η εφαρμογή αντικυκλικής οικονομικής πολιτικής, εφόσον δεν είναι με μεγάλη ακρίβεια ζυγισμένη ως προς την φορά, το μέγεθος και τον χρόνο, δρα μάλλον αποσταθεροποιητικά παρά εξισορροποιητικά. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι μια τέτοια παρέμβαση μετατρέπει το οικονομικό σύστημα σε διαταραχθέντα ταλαντευτή (forced oscillator)  δηλαδή οδηγεί εκτός ελέγχου το εύρος και την συχνότητα τής ταλάντευσης τής οικονομίας. 'Ετσι, η οικονομία είναι ενδεχόμενο, αντί τής σταθεροποίησης, να εμφανίσει πληθωριστικές ή υφεσιακές τάσεις, δεδομένου ότι η αντικυκλική πολιτική που ασκήθηκε έδωσε τέτοιες τιμές στις αργές οικονομικές μεταβλητές (π.χ. οριακή ροπή προς κατανάλωση, οριακή ροπή προς επένδυση κ.λπ.), ώστε να εξαναγκαστεί το σύστημα σε διχαλοδρομήσεις. Ανάλογα με τις επικρατούσες συνθήκες, οι εν λόγω διχαλοδρομήσεις μπορεί να είναι ασθενεις η ισχυρες, παρατεταμενες η συντομες. Σε ό,τι αφορά, τέλος την μη γραμμικότητα τών μαθηματικών εξισώσεων που εκφράζουν τα οικονομικά φαινόμενα (προσφορά, ζήτηση, τιμές, ανεργία, επενδύσεις, κατανάλωση κ.λπ.) αυτό αποδίδεται στις τριβές και αδράνειες που χαρακτηρίζουν την διαδικασία λήψης τών σχετικών αποφάσεων. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναmυχθεί πολύπλοκες οικονομετρικές τεχνικές, κατάλληλες για τον στατιστικό εντοπισμό και την επεξεργασία τών οικονομικών ποσοτικών δεδομένων που παρουσιάζουν χαοτική συμπεριφορά. Εν τούτοις η προβλεπτική ικανότητα τών σχετικών μεθόδων, μέχρι στιγμής, φαίνεται περιορισμένη. Η έρευνα, παρ' όλα αυτά, συνεχίζεται, και στο μέλλον προσδοκάται μεγαλύτερη πρόοδος. '0μως, υπάρχει σκεπτικισμός ως προς το ανακοινώσιμο τών προόδων στον σχετικό τομέα, εάν ληφθούν υπ' όψιν τα τεράστια οικονομικά συμφέροντα (π.χ. πρόβλεψη κινήσεων χρηματιστηρίου) που μπορεί να προκύψουν από αυτές. 'Οπως κάποιος σημείωσε, «αυτός που ξέρει, δεν γράφει».

Η πρώτη από τα αριστερά εικόνα είναι το σύνολο Mandelbrot που προκύπτει κατά την μελέτη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c , όπου Ζ και c είναι μιγαδικσί αριθμοί. Κάθε κυανό σημείο του καρδιοειδούς που παριστάνεται στο μιγαδικό επίπεδο αντιστοιχεί σε τιμή τού c, για την οποία προκύπτει ένα συνεκτικό σύνολο Julia (Ζυλιά). Το σύνολο Julia προκύπτει από την επανάληψη της απεικόνισης Ζ2 ->Ζ2 + c για όλα τα δυνατά Ζ και περιέχει εκείνα τα Ζ που απεικονίζονται στο άπειρο. Το σύνολο τού Mandelbrot έχει το εντυπωσιακό χαρακτηριστικό να διατηρεί την εξαιρετικά πσλύπλοκη δομή του, όταν εστιάζσυμε σε ένα τμήμα του και το μεγεθύνουμε σε οποιαδήποτε κλίμακα, όπως φαίνεται στο πρώτο αριστερό σχήμα.

Ανάμεσα στις τροχιές του Άρη και του Δία, απλώνεται μια ζώνη που είναι γεμάτη από χιλιάδες συντρίμμια βράχων , με μέγεθος από μερικά μέτρα μέχρι μερικές δεκάδες χιλιόμετρα. Αυτοί είναι οι αστεροειδείς. Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Jack Widsom του MIT έστρεψε την προσοχή του στους μηχανισμούς που καθορίζουν τις θέσεις των αστεροειδών . Οι αστεροειδείς δεν είναι ομαλά διεσπαρμένοι ανάμεσα στον Άρη και στο Δία. Αντίθετα υπάρχουν διάκενα στην κατανομή τους. Μερικά απ' αυτά τα χάσματα ονομάζονται διάκενα Κέρκγουντ. Ενα αντικείμενο που κινείται σε μια τέτοια περιοχή, υποβάλλεται σε επανειλημμένες βαρυτικές παρέλξεις εξαιτίας του γίγαντα Δία και παρεκκλίνει γρήγορα αφήνοντας ένα διάκενο Κέρκγουντ. Ο Wisdom ανακάλυψε ότι οι παρέλξεις του Δία δημιουργούν μια χαοτική ζώνη στο διάκενο. Τα σωματίδια που περιπλανώνται μέσα στο διάκενο καταφθάνουν με πολλές διαφορετικές αρχικές καταστάσεις. Εξαιτίας της χαοτικής ζώνης, τα σωματίδια καταλήγουν να κινούνται με ριζικά διαφορετικό τρόπο. 'Εται πολλά απ' αυτά εκσφενδονίζονται προς την κατεύθυνση της Γης ή του Άρη. Ο Wisdom ανακάλυψε ότι ένας στους πέντε αστεροειδείς που παρεκκλίνουν -δημιουργώντας ένα διάκενο Κέρκγουντ- μπορεί να φτάσει μέχρι την τροχιά της Γης. Το πρόβλημα του αν υπάρχουν αστεροειδείς που ξεφεύγουν από την τροχιά τους και διασχίζουν την τροχιά της Γης, είναι κάτι πολύ περισσότερο από ένα ακαδημαίκό ερώτημα: η σύγκρουση ακόμα κι ενός μικρού αστεροειδoύς με τη Γη μπορεί να επιφέρει ασύλληπτες καταστροφές.